动态规划_leetcode.121.买卖股票的最佳时期

题目

给定一个数组，它的第 i 个元素是一支给定股票第 i 天的价格。

如果你最多只允许完成一笔交易（即买入和卖出一支股票一次），设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。

注意：你不能在买入股票前卖出股票。

示例 1:

输入: [7,1,5,3,6,4]
输出: 5
解释: 在第 2 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 5 天（股票价格 = 6）的时候卖出，最大利润 = 6-1 = 5 。
     注意利润不能是 7-1 = 6, 因为卖出价格需要大于买入价格；同时，你不能在买入前卖出股票。

示例 2:

输入: [7,6,4,3,1]
输出: 0
解释: 在这种情况下, 没有交易完成, 所以最大利润为 0

解法一：暴力解法

暴力求解，不解释。

枚举所有发生一次交易的股价差

public int maxProfit(int[] prices) {
    int len = prices.length;
    if (len < 2) {
        return 0;
    }

    // 有可能不发生交易，因此结果集的初始值设置为 0
    int res = 0;

    // 枚举所有发生一次交易的股价差
    for (int i = 0; i < len - 1; i++) {
        for (int j = i + 1; j < len; j++) {
            res = Math.max(res, prices[j] - prices[i]);
        }
    }
    return res;
}

解法二：动态规划

题目只问最大利润，没有问这几天具体哪一天买、哪一天卖，因此可以考虑使用 动态规划 的方法来解决。

买卖股票有约束，根据题目意思，有以下两个约束条件：

• 条件 1：你不能在买入股票前卖出股票；
• 条件 2：最多只允许完成一笔交易。

因此 当天是否持股 是一个很重要的因素，而当前是否持股和昨天是否持股有关系，为此我们需要把 是否持股 设计到状态数组中。

状态定义：

dp[i] [j]：下标为 i 这一天结束的时候，手上持股状态为 j 时，我们持有的现金数。

• j = 0，表示当前不持股；
• j = 1，表示当前持股。

注意：这个状态具有前缀性质，下标为 i 的这一天的计算结果包含了区间 [0, i] 所有的信息，因此最后输出 dp[len - 1] [0]。

说明：

• 使用「现金数」这个说法主要是为了体现 买入股票手上的现金数减少，卖出股票手上的现金数增加 这个事实；
• 「现金数」等价于题目中说的「利润」，即先买入这只股票，后买入这只股票的差价；
• 因此在刚开始的时候，我们的手上肯定是有一定现金数能够买入这只股票，即刚开始的时候现金数肯定不为 00，但是写代码的时候可以设置为 0。极端情况下（股价数组为 [5, 4, 3, 2, 1]），此时不发生交易是最好的（这一点是补充说明，限于我的表达，希望不要给大家造成迷惑）。

推导状态转移方程：

dp[i] [0]：规定了今天不持股，有以下两种情况：

• 昨天不持股，今天什么都不做；

• 昨天持股，今天卖出股票（现金数增加），
  dp[i] [1]：规定了今天持股，有以下两种情况：

• 昨天持股，今天什么都不做（现金数增加）；

• 昨天不持股，今天买入股票（注意：只允许交易一次，因此手上的现金数就是当天的股价的相反数）。
  状态转移方程请见 参考代码 2。

知识点：

• 多阶段决策问题：动态规划常常用于求解多阶段决策问题；
• 无后效性：每一天是否持股设计成状态变量的一维。状态设置具体，推导状态转移方程方便

public class Solution {

    public int maxProfit(int[] prices) {
        int len = prices.length;
        // 特殊判断
        if (len < 2) {
            return 0;
        }
        int[][] dp = new int[len][2];

        // dp[i][0] 下标为 i 这天结束的时候，不持股，手上拥有的现金数
        // dp[i][1] 下标为 i 这天结束的时候，持股，手上拥有的现金数

        // 初始化：不持股显然为 0，持股就需要减去第 1 天（下标为 0）的股价
        dp[0][0] = 0;
        dp[0][1] = -prices[0];

        // 从第 2 天开始遍历
        for (int i = 1; i < len; i++) {
            dp[i][0] = Math.max(dp[i - 1][0], dp[i - 1][1] + prices[i]);
            dp[i][1] = Math.max(dp[i - 1][1], -prices[i]);
        }
        return dp[len - 1][0];
    }
}

解法三： 滚动数组优化

分析

java

public class Solution {

    public int maxProfit(int[] prices) {
        int len = prices.length;
        if (len < 2) {
            return 0;
        }

        int[][] dp = new int[2][2];
        dp[0][0] = 0;
        dp[0][1] = -prices[0];
        for (int i = 1; i < len; i++) {
            dp[i % 2][0] = Math.max(dp[(i - 1) % 2][0], dp[(i - 1) % 2][1] + prices[i]);
            dp[i % 2][1] = Math.max(dp[(i - 1) % 2][1], -prices[i]);
        }
        return dp[(len - 1) & 1][0];
    }
}

% 2 还可以写成 & 1，这里为了保证可读性，选用 % 2。

解法四： 空间优化

空间优化只看状态转移方程。

状态转移方程里下标为 i 的行只参考下标为 i - 1 的行（即只参考上一行），并且：

• 下标为 i 的行并且状态为 0 的行参考了上一行状态为 0 和 1 的行；
• 下标为 i 的行并且状态为 1 的行只参考了上一行状态为 1 的行。

public class Solution {

    public int maxProfit(int[] prices) {
        int len = prices.length;
        if (len < 2) {
            return 0;
        }

        int[] dp = new int[2];
        dp[0] = 0;
        dp[1] = -prices[0];
        for (int i = 1; i < len; i++) {
            dp[0] = Math.max(dp[0], dp[1] + prices[i]);
            dp[1] = Math.max(dp[1], -prices[i]);
        }
        return dp[0];
    }
}

最后，不经历风雨,怎能在计算机的大山之顶看见彩虹呢！ 无论怎样，相信明天一定会更好！！！！！